문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 모듈러성 정리 (문단 편집) == 상세 == 타원곡선[* [math(y^2 = x^3 + Ax + B )] 꼴의 방정식이다.]에서 x와 y가 [[유리수]]일 때, 즉 타원곡선의 유리수점의 집합 E(Q)를 생각하자.[* 정수론에서 타원곡선의 A와 B는 보통 유리수이다.] 이 유리수점은 위의 [[군(대수학)|군]] 연산에 대해 닫혀 있고, 모델-베유 정리(Mordell-Weil theorem)에 의해 모든 유리수점은 유한 개의 유리수점의 합으로 나타낼 수 있다.[* 정확한 내용은 이는 E(Q)의 군이 유한생성 가환군이라는 것이다.] 또 다른 하나는 x와 y가 정수이고, 이를 N으로 나눈 나머지를 생각하는 것이다. 즉 합동방정식의 해들의 집합 E(N)을 생각한 뒤 |E(p)|의 정보들을 모두 모아 타원곡선의 L-함수(L-function) 혹은 L-급수(L-series)를 만들 수 있다. 한편 모듈러 형식(modular form)은 허수부가 0보다 큰 복소수 위에서 정의되는 유리형(meromorphic) 복소함수 중 다음을 만족하는 함수이다. (a,b,c,d는 [math(ad-bc=1)]인 임의의 정수, k는 고정된 정수) [math(f( (az+b)/(cz+d) ) = (cz+d)^k f(z))] 이 f를 [[푸리에 해석]]을 사용하여 [math( q = e^{2 \pi i z} )]에 대해 전개한 급수에서 p번째의 계수들을 뽑아내 타원곡선의 경우와 비슷하게 조합하면, 모듈러 형식의 L-급수를 얻는다. 여기에 그 이유를 대략적으로 설명해 보도록 하겠다. 그 전에 [[체(대수학)]], [[타원곡선]][* 정의만 알면 된다. 뒤의 타원 적분이 어쩌구 하는 것은 필요 없다.] 문서와 [[유한체]] (또는 [[시계 산술]]) 문서의 내용을 대충은 알고 와야지 이해가 될 것이다. 의외로 고등학교 수학만 알아도 그렇게 막히는 부분은 없을 것이다. 타원곡선의 방정식은 다음과 같다. 유리수 a,b,c에 대해 {{{+2 [math(y^{2}=x^{3}+ax^{2}+bx+c)] }}} (단, 삼차방정식 [math(x^{3}+ax^{2}+bx+c=0)] 는 중근을 가지지 않는다. ) 그러면 타원곡선의 방정식 중 가장 기본적이고도 유명한 방정식 중 하나인 다음 곡선을 살펴보자. {{{+2 [math(y^{2}=x^{3}-x)] }}} 이 방정식은 x(x-1)(x+1)로 인수분해되어, 중근을 가지지 않으므로 타원곡선의 정의를 만족한다. 이제 이 방정식을 [[유한체]] [math(F_{p})] 로 떨어트려 보자.[* 수학적으로는 [[환원]]된다는 용어를 사용한다.] 그러면 다음과 같이 식이 변형된다. {{{+2 [math(y^{2} \equiv x^{3}-x \pmod{p})] }}} [* 이것은 좌변과 우변이 P를 [[법]]으로 하여 합동이 된다는 뜻이다. 즉 [[시계 산술]] 내용 말 그대로.] 그러면 유한체 [math(F_{2})]를 생각해 보자. [math(F_{2}={0,1})]로 정의되며, [[체(대수학)|체]]이기 때문에 덧셈과 곱셈이 모두 가능해야 한다. 이를 이용하여 연산표를 만들어 보면 가능한 순서쌍 (x,y)는 (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) 이렇게 4가지가 존재하며, [math(y^{2} \equiv x^{3}-x \pmod 2)] 식을 만족시키는 근은 (0,0), (1,0) 이렇게 2가지이다. 따라서 유한체 [math(F_{2})] 위에서 이 방정식의 근을 구했다. 다만 예리한 사람이라면 눈치챘을 텐데, '''유한체에 떨어트려도 방정식이 중근을 가지지 않는다는 조건을 만족하는지'''를 확인해 보면, 인수분해 식인 x(x-1)(x+1)에서 1과 -1은 유한체 [math(F_{2})] 위에서 동치이다. 왜냐하면 1은 1 자신의 덧셈에 대한 역원이기 때문.[* 일반적 언어로 표현하면, 2 차이 나므로 [math(F_{2})] 상에서 1과 -1은 같다고 표현하는 것이다.] 즉, '중근을 가지지 않는다' 는 조건에 위배되어, 더 이상 타원곡선이 아니게 된다. 이처럼 소수 p에 대해 유리수체 위의 임의의 타원곡선을 유한체 [math(F_{p})]로 환원시켰을 때 역시 중근을 가지지 않는다면 그 타원곡선은 을 가진다고 하고, 중근을 가진다면 고 말한다. 즉, 위 타원곡선은 2에서 나쁜 환원을 가진다. 이 나쁜 환원도 2종류로 나뉘어, 환원 시 이중근을 갖는 데 그친다면 '''승법적 환원'''을 가진다고 하며, 삼중근을 갖는다면 '''가법적 환원'''을 가진다고 한다. 이 때, 어떤 소수로 환원해도 <좋은 환원> 또는 <승법적 환원>만을 가지는 타원함수를 '''반안정'''인 타원함수라고 한다.[* 여담으로, 앞에서 살펴본 타원곡선 [math(y^{2}=x^{3}-x)]의 경우 2를 제외한 소수로 환원시키면 항상 좋은 환원을 가진다. 증명은 여백이 좁으므로 생략.] 이제 위의 정의를 이용하여 타원곡선 [math(y^{2}=x^{3}-x)] 을 다른 유한체에 환원시켰을 때의 근의 개수도 구할 수 있다. 아래 표는 [math(F_{23})]까지 그 근의 개수를 나열했다. (이를 편의상 s(p)라고 하자.) || [math(F_{p})] || [math(F_{2})] || [math(F_{3})] || [math(F_{5})] || [math(F_{7})] || [math(F_{11})] || [math(F_{13})] || [math(F_{17})] || [math(F_{19})] || [math(F_{23})] || || s(p) || 2 || 3 || 7 || 7 || 11 || 7 || 15 || 19 || 23 || 이제 타원곡선 얘기는 이쯤 하고, 이 문서의 제목인 모듈러성 정리로 가 보자. 다음과 같이 함수 [math(\Phi (z))]를 정의한다. {{{+2 [math(\Phi (z)=q\prod_{k=1}^{∞}(1-q^{1-4k})^{2}(1-q^{1-8k})^{2})] }}} (단, [math(q=e^{2k\pi iz})] 이며, z는 복소수) 앞에서 보았듯이 함수 [math(\Phi (z))]는 다음 성질을 만족한다. {{{+2 [math(f( (az+b)/(cz+d) ) = (cz+d)^k f(z))] }}} (단, a,b,c,d는 정수이고, ad-bc=1을 만족하며 c는 32의 배수이며 z의 허수부는 양수이다. ) 이때 k를 <'''무게'''>라고 정의한다. 여기서는 k=2, 즉 무게가 2인 보형 형식만 다룬다.[* 저 식이 잘 이미지가 안 잡힌다면 임의의 수를 대입해서 이해를 도울 수 있다. 예로 a=1, b=1, c=0, d=1이라 가정하면 [math(\Phi (z))]는 주기가 1인 주기함수가 된다. 따라서 푸리에 전개가 가능하다.] 이제는 다음 식을 정리해 보자. 단, 이제 q를 z의 함수로 나타냈으므로 [math(\Phi (z))] 대신 f(q)라고 표현하도록 하겠다. {{{+2 [math(\Phi (z)=q\prod_{k=1}^{∞}(1-q^{1-4k})^{2}(1-q^{1-8k})^{2})] }}} 무한 곱의 형태지만 차수가 낮은 항들부터 하나씩 풀어주면 다음과 같다. {{{+2 [math( f(q) = 1q-2q^5-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+Q(나머지))] }}} 이때 [math(q^k)]의 계수를 [math(a(k))]라고 하면 이것을 다음과 같은 표로 정리할 수 있다. || k || 1 || 5 || 9 || 13 || 17 || || a(k) || 1 || -2 || -3 || 6 || 2 || 소수에 주목하면서 두 표를 더하면 두 세계가 이어진다. || p || 2 || 3 || 5 || 7 || 11 || 13 || 17 || 19 || 23 || || s(p) || 2 || 3 || 7 || 7 || 11 || 7 || 15 || 19 || 23 || || a(p) || 0 || 0 || -2 || 0 || 0 || 6 || 2 || 0 || 0 || 따라서, 둘 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다. {{{+2 '''[math(s(p)+a(p)=p)]''' }}} 모듈러성 정리는 위의 예시와 같이 임의의 타원 곡선이 주어졌을 때 위 무한급수 꼴의 함수가 보형 형식이 된다는 명제다. 1956년 일본의 수학자 타니야마 유타카는 두 대상을 비교해보니 타원곡선의 L급수의 계수를 가진 모듈러형식의 급수가 있고, 반대도 성립하는 것 같다는 내용을 [[도쿄]]에서 열린 수학 학술회에 발표하였다. [[시무라 고로]]는 타니야마의 연구를 보고 공동으로 연구해 본 결과 여러 타원 곡선과 모듈러 형식에 대해 그 추측대로 서로 일대일 대응됨을 찾아낸다. 그런데 타니야마는 1957년 11월 한 여자와 약혼을 하더니, 1958년 11월 [[자살]]하였다. 불행히도 약혼자도 1달 만에 자살했다고 한다. 이후 프랑스의 수학자 앙드레 베유가 유럽에 소개하였다.[* 참고로 이 세 사람 중 이 추측이 완전히 증명될 때까지 살아있었던 사람은 시무라 고로 한 명 뿐이었다. --행운의 사나이-- 앙드레 베유는 1999년 완전한 증명이 이루어지기 1년 전에 죽었다.] 이로 인해 이 추측은 타니야마의 추측, 시무라의 추측, 베유의 추측 등 15가지 바리에이션으로 불리게 된다.[* 그것 때문에 추측이 증명된 이후에는 모듈러성 정리로 부르고 있다.] 이 정리 자체도 대단한 업적이지만, 진짜 유명해진 이유는...저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기